Václav Vlk st. ve svém článku o hadech a štírech na konec píše:
Už chápete, proč si myslím že se máme učit skutečné dějiny, skutečný
dějepis, skutečnou matematiku (bez šílenosti zvané množiny)?
A to je zajímavá otázka: Existuje skutečná matematika bez množin? Vlk chtěl asi oddělit matematiku od počtů, ale pojďme se podívat na ty opravdové množiny.
Historie teorie množin je úžasná. Podobně jako se matematická analýza začala stavět na ne zcela přesně definovaných pojmech nekonečně velkých a malých čísel, vznikla i teorie množin na pojmu množina, o kterém se toho moc nevědělo.
Matematická analýza na to docela dojela, a dnes už funguje jen v občas krkolomné epsilon-delta syntaxi. Teorie množin také narazila – začaly se objevovat tzv. paradoxy, což byly v podstatě spory, jenomže mít spornou teorii, to je v matematice hodně špatná vizitka. Tehdy se myslelo, že jsou to skutečně paradoxy, tedy něco, co sice působí zvláštně, ale nakonec se to přeci jen nějak vysvětlí.
Jeden z těch paradoxů na ukázku: Představte si množinu, která neobsahuje sama sebe jako svůj prvek. Třeba množina všech jablíček – sama množina není jablíčkem. Takovým množinám budeme říkat normální. Naopak množina všech nejablíček není normální, protože množina sama není jablíčko, a tedy je prvkem sebe sama. Mějme teď množinu všech normálních množin. Kdyby tato množina byla normální, musela by být podle své definice svým vlastním prvkem, což ale odporuje definici normálnosti. Kdyby nebyla normální, nesměla by být podle své definice svým vlastním prvkem, což ale zase odporuje definici nenormálnosti. To jsou paradoxy!
Jenomže to nebyly paradoxy, byly to spory. A ty byly vyřešeny axiomatickými teoriemi, ve kterých se přesně vymezilo, co může být a co nemůže být množinou.
Řeklo se, že prvkem množiny nemůže být nic jiného, než zase množina. A řeklo se, že existuje množina, ve které nic není. Říká se jí prázdná množina a značí se 0 nebo {}. Řeklo se také, že z množin se dá zase udělat množina, takže třeba {{}} je množina, a {{}, {{}}} taky, a {{}, {{}}, {{}, {{}}}} taky. Tak se v teorii množin označují čísla 1, 2 a 3. Každé přirozené číslo n je množina {0, 1, 2, …, n-1}.
Vlastně jsou to všechno jenom všelijaké kombinace nul, nic víc v těch množinách není – a přece jich je tolik, a přece existují věci, které nejsou množinami – třeba neexistuje množina všech množin.
Pokud bychom byli v teorii množin zběhlí, můžeme diskutovat třeba o tom, zda by případná existence obřího kardinálu porušovala zobecněnou hypotézu kontinua, což – jak asi chápete – je dost závažná otázka. Jak to souvisí se cpaním teorie množin dětem?
Údajně to přišlo ze Sovětského svazu. Rusové měli a mají výborné matematiky, a někoho vysoko postaveného napadlo, že čím dřív se začne s výukou teorie množin, tím víc matematiků bude – a zase budeme o kousek před "nimi"!
Jenomže vysvětlujte dětem axiom výběru – a tak se množiny přeložily do srozumitelné úrovně, tj. vrátily se do sporné podoby z 18. století. Děti se učí o množinách jablíček a množinách hruštiček, sjednocují je (a ty hloupější sčítají – Pepíčku, nemůžeš sčítat jablka s hruškami!), ale celé to k ničemu není. Rozhodně to nepřinese vhled do teorie množin.
Při výuce matematiky se pořád lže. Nejdřív prý nejde sečíst 6 a 7 (sčítáme jen do desítky), pak nejde odečíst 5 od 3 (máme pouze kladná čísla), pak nejde neceločíselně dělit, některé kvadratické rovnice nemají řešení – a tak pořád dál.
Všechny ty utajované skutečnosti se nakonec odhalí. Ale je zajímavé, jak dlouho se drží při životě ten úplně elementární nesmysl. Tak tedy, jednou provždy:
Množina jablíček neexistuje.